Разлика между взаимно изключващи се и независими събития

Взаимно изключителни срещу независими събития

Хората често бъркат концепцията за взаимно изключващи се събития с независими събития. Всъщност това са две различни неща.

Нека A и B са всякакви две събития, свързани с случаен експеримент E. P (A) се нарича „Вероятност на A“. По същия начин можем да определим вероятността от B като P (B), вероятността от A или B като P (A∪B), а вероятността от A и B като P (A∩B). Тогава P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Две събития обаче се споменават като взаимно изключващи се, ако настъпването на едното събитие не засяга другото. С други думи, те не могат да възникнат едновременно. Следователно, ако две събития A и B са взаимно изключващи се, тогава A∩B = ∅ и следователно, това предполага P (A∪B) = P (A) + P (B).

Нека A и B са две събития в извадково пространство S. Условната вероятност на A, като се има предвид, че B е възникнала, се обозначава с P (A | B) и се определя като; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), при условие, че P (B)> 0. (в противен случай не е определено.)

Казва се, че събитие A не зависи от събитие B, ако вероятността, че A се случва, не се влияе от това дали B се е случило или не. С други думи, изходът от събитието B няма ефект върху резултата от събитието А. Следователно P (A | B) = P (A). По същия начин B е независим от A, ако P (B) = P (B | A). Следователно можем да заключим, че ако A и B са независими събития, тогава P (A∩B) = P (A) .P (B)

Да приемем, че номерирано кубче е навито и честна монета е обърната. Нека A е събитието, че получаването на глава и B е събитието, което търкаля четно число. Тогава можем да заключим, че събития А и Б са независими, тъй като този резултат на едното не влияе на резултата от другия. Следователно, P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Тъй като P (A∩B) ≠ 0, A и B не могат да бъдат взаимно изключващи се.

Да предположим, че урна съдържа 7 бели мрамора и 8 черни мрамора. Определете събитие A като рисуване на бял мрамор и събитие B като рисуване на черен мрамор. Ако приемем, че всеки мрамор ще бъде заменен, след като отбележи цвета си, тогава P (A) и P (B) винаги ще бъдат еднакви, независимо колко пъти черпим от урната. Подмяната на мраморите означава, че вероятностите не се променят от теглене до теглене, без значение какъв цвят сме избрали при последното теглене. Следователно събитията A и B са независими.

Ако обаче мраморите бяха нарисувани без подмяна, тогава всичко се променя. При това предположение събитията А и Б не са независими. Рисуването на бял мрамор първият път променя вероятностите за рисуване на черен мрамор на второто теглене и т.н. С други думи, всяко теглене има ефект върху следващото теглене и затова отделните тегления не са независими.